sucesos excluyentes

Los eventos mutuamente excluyentes son aquellos en los que si un evento sucede significa que el otro no puede ocurrir. Si bien suelen usarse en teorías científicas, también son parte de las leyes y los negocios. Como resultado, entender los eventos mutuamente excluyentes puede ser importante para una variedad de disciplinas.

Fórmula

La fórmula matemática para determinar la probabilidad de los eventos mutuamente excluyentes es P(A U B) = P(A) + P(B). Dicho en voz alta, la fórmula es "Si A y B son evento mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de que A o B suceda es equivalente a la probabilidad del evento A más la probabilidad del evento B".

 

Sacar una carta de corazones y una carta de espadas. Son eventos mutuamente excluyentes, las cartas o son de corazones o son de espadas.

Sacar una carta numerada y una carta de letras. Son eventos mutuamente excluyentes, las cartas o son numeradas o son cartas con letra.

Sacar una carta de tréboles roja.  Son eventos mutuamente excluyentes pues las cartas de tréboles son exclusivamente negras.

No es posible encontrar una sola carta que haga posible que los eventos sucedan a la vez.

 

sucesos independientes

Dos o más eventos son independientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento (o eventos). Un caso típico de eventos independiente es el muestreo con reposición, es decir, una vez tomada la muestra se regresa de nuevo a la población donde se obtuvo.

 

Dos eventos, A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.

 

Por definición, A es independiente de B si y sólo si:A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no tiene que ver con la ocurrencia de otro.

 

Por definición, A es independiente de B si y sólo si:A es independiente de B si y sólo si:

 

(PnA)=P(A)P(B)

 

probabilidad

La Probabilidad es la mayor o menor posibilidad de que ocurra un determinado suceso. En otras palabras, su noción viene de la necesidad de medir o determinar cuantitativamente la certeza o duda de que un suceso dado ocurra o no.

 

Ésta establece una relación entre el número de sucesos favorables y el número total de sucesos posibles. Por ejemplo, lanzar un dado, y que salga el número uno (caso favorable) está en relación a seis casos posibles (1, 2, 3, 4, 5 y 6); es decir, la probabilidad es 1/6.

 

La probabilidad está basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento necesario de la estadística, además de otras disciplinas como matemática, física u otra ciencia. En ellas se aplica una teoría de probabilidades, la cual tiene como fin examinar las formas y medios para obtener esas medidas de certeza, así como encontrar los métodos de combinarlos cuando intervienen varios sucesos en un experimento aleatorio o prueba.

 

Cada uno de los resultados obtenidos al realizar un experimento recibe el nombre de suceso elemental. Se llama espacio muestral el conjunto de todos los sucesos elementales obtenidos, de forma que todo subconjunto del espacio muestral es un suceso.

Métodos de medición de Probabilidad

 

Uno de los métodos más utilizados es aplicando la Regla de Laplace: define la probabilidad de un suceso como el cociente entre casos favorables y casos posibles.

 

 

 

probabilidad001

 

Ejemplos:

 

a) Probabilidad de que al lanzar un dado salga el número 2: el caso favorable (f) es tan sólo uno (que salga el dos), mientras que los casos posibles (n) son seis (puede salir cualquier número del uno al seis).

 

Por lo tanto:

 

probabilidad002 (o lo que es lo mismo, 16,6%)

 

x

b) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número par: en este caso los casos favorables (f) son tres (que salga el dos, el cuatro o el seis), mientras que los casos posibles (n) siguen siendo seis.

 

Por lo tanto:

 

probabilidad003  (o lo que es lo mismo, 50%)

 

c) Probabilidad de que al lanzar un dado salga un número menor que 5: en este caso tenemos cuatro casos favorables (f) (que salga el uno, el dos, el tres o el cuatro), frente a los seis casos posibles.

 

Por lo tanto:

probabilkidad004 (o lo que es lo mismo, 66,6%)

 

d) Probabilidad de ganarse el premio mayor de una lotería en la que juegan 100.000 númerosnos: tan sólo un caso favorable (f), el número que jugamos, frente a los 100.000 casos posibles (n).

 

Por lo tanto:

 

probabilidad005 (o lo que es lo mismo, 0,001%)

 

 

 

x

d) Probabilidad al lanzar una moneda, con un águila en una cara y un sol en la otra. Hay dos casos posibles (n) de ocurrencia (o cae águila o cae sol) y sólo un caso favorable (f) de que pueda caer águila (pues sólo hay un águila en la moneda).

 

Por lo tanto:

 

probabilidad006(o, lo que es lo mismo, 50 %)

 

Existe una probabilidad del 50% de obtener un águila al tirar una moneda.

 

e) Probabilidad de elegir tal o cual fruta. Si en una canasta hay 20 peras y 10 manzanas. ¿Qué fruta es más probable que saque al azar de la canasta?

 

Para este ejemplo tenemos que 30 es el total de frutas en la canasta; es decir los casos posibles (n). Para calcular la probabilidad de sacar una manzana los casos favorables (f) son 10 puesto que existen sólo 10 manzanas.

 

Por lo tanto:

 

probabilidad007 (o, lo que es lo mismo, 33,3 %)

 

probabilidad008 (o, lo que es lo mismo, 66,7 %)

 

Fíjate bien que 33,3% + 66,7% es igual al 100% porque siempre que saquemos algo de la canasta es seguro que será una fruta.

regla de multiplicidad

La regla de multiplicación requiere que dos eventos A y B sean independientes.

Dos eventos A y B son independientes si la ocurrencia de una no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro.

La regla especial se escribe: P(A y B) = P(A) * P(B).

 

Existen dos acepciones de esta regla:

 

1) Si los eventos de independientes:

 

P(A y B ) = P( A ∩ B ) = P(A)P(B)

 

2) Si los eventos son dependientes:

 

Es la probabilidad de A multiplicada por la probabilidad condicional de B dado A.

 

P(A y B) = P(A)P(B|A)

sucesos independientes

Dos o más eventos serán dependientes cuando la ocurrencia o no-ocurrencia de uno de ellos afecta la probabilidad de ocurrencia del otro (o otros). Cuando tenemos este caso, empleamos entonces, el concepto de probabilidad condicional para denominar la probabilidad del evento relacionado. La expresión P (A|B) indica la probabilidad de ocurrencia del evento A sí el evento B ya ocurrió.

 

Se debe tener claro que A|B no es una fracción.

 

P (A|B) = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A)

 

Probabilidad Condicional = P(A y B) / P (B) o P (B|A) = P(A y B) / P(A)

 

tablas de contingencia

Un método útil para clasificar los datos obtenidos en un recuento es mediante las tablas de contingencia.

 

Se trata de tablas en cuyas celdas figuran probabilidades, y en la cual podemos determinar unas probabilidades conociendo otras de la tabla.

 

Ejemplo

 

Se sortea un viaje a Roma entre los 120 mejores clientes de una agencia de automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas. Se pide:

 

1.¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero?

 

2.Si del afortunado se sabe que es casado, ¿cuál será la probabilidad de que sea una mujer?

 

 

 

 

 

teorema de valles

 

El Teorema de BAYES se apoya en el proceso inverso al que hemos visto en el Teorema de la Probabilidad Total:

Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso A (probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo) deducimos la probabilidad del suceso B (que ocurra un accidente).

 

Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A (¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?).

EJEMPLO 1

 

En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas. De los niños el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas tienen menos de 24 meses. Un pediatra que ingresa a la sala selecciona un infante al azar.

 

a. Determine el valor de la probabilidad de que sea menor de 24 meses.

 

b. Si el infante resulta ser menor de 24 meses. Determine la probabilidad que sea una niña.

 

SOLUCIÓN:

 

Se definen los sucesos:

 

Suceso H: seleccionar una niña.

 

Suceso V: seleccionar un niño.

 

Suceso M: infante menor de 24 meses.

 

En los ejercicios de probabilidad total y teorema de bayes, es importante identificar los sucesos que forman la población y cuál es la característica que tienen en común dichos sucesos. Estos serán los sucesos condicionados.

 

a. En este caso, la población es de los infantes. Y la característica en común es que sean menores de 24 meses. Por lo tanto, la probabilidad de seleccionar un infante menor de 24 meses es un ejemplo de probabilidad total. Su probabilidad será:

 

 

 

b. Para identificar cuando en un ejercicio se hace referencia al teorema de bayes, hay que partir de reconocer esta es una probabilidad condicionada y que la característica común de los sucesos condicionantes ya ha ocurrido. Entonces, la probabilidad de que sea niña una infante menor de 24 meses será: